Invariants intégraux/Cartan1922/001

Pour un point matériel de masse $m$ dans un potentiel $V$, l'action élémentaire sur un intervalle de temps $dt$ est définie par

$dS=(T-V)dt$

différence de l'énergie cinétique $T$ et de l'énergie potentielle $V$ fois l'intervalle de temps.

Soient $x,y,z$ les coordonnées orthonormales du point, $\dot{x},\dot{y},\dot{z}$ les composantes de sa vitesse. L'action entre les instants $t_0$ et $t_1$ est l'intégrale

$S=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)-V(x,y,z))dt$

L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel entre les instants $t_0$ et $t_1$, mais aussi sur une trajectoire infiniment voisine $x(t)+\delta x(t),y(t)+\delta y(t),z(t)+\delta z(t)$. On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :

$0=\delta x(t_0)=\delta y(t_0)=\delta z(t_0)=\delta x(t_1)=\delta y(t_1)=\delta z(t_1)$

La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut

$\delta S=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(m(\dot{x}\delta \dot{x}+\dot{y}\delta \dot{y}+\dot{z}\delta \dot{z})-\frac{\partial V}{\partial x}\delta x+\frac{\partial V}{\partial y}\delta y+\frac{\partial V}{\partial z}\delta z)dt$

Au mème instant, et pendant un intervalle de temps $dt$, on a une coordonnée qui passe de $x$ à $x+\dot{x}dt$ sur une trajectoire et de $x+\delta x$ à $x+\delta x+\dot{x}dt+\frac{d\left(\delta x\right)}{dt}dt$ sur l'autre. On a donc $\delta \dot{x}=\frac{d\left(\delta x\right)}{dt}$, ce qui nous permet d'intégrer

$\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\dot{x}\delta \dot{x}dt=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\dot{x}d\left(\delta x\right)=\dot{x}\delta x{|}_{t_0}^{t_1}-\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\ddot{x}\delta xdt$

Comme $\delta x$ est supposé nul en $t_0$ et $t_1$, il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :

$\delta S=-\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}((m\ddot{x}+\frac{\partial V}{\partial x})\delta x+(m\ddot{y}+\frac{\partial V}{\partial y})\delta y+(m\ddot{z}+\frac{\partial V}{\partial z})\delta z)dt$

Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que $\delta S$ est nul, et que l'on a les équations de la dynamique

$m\ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}$

$m\ddot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}$

$m\ddot{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}$