Voir la source de Propriétés métriques des droites et plans

En géométrie élémentaire ou géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les '''droites et les plans''' possèdent '''des propriétés métriques''' permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit vecteur normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui séparent deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ''ux + vy + h = 0'' où (''u'' , ''v'') est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ''ux + vy + wz + h = 0'' où (''u, v, w'') est différent de (0, 0, 0)

== La droite dans le plan euclidien ==

=== Vecteur normal à une droite ===

Soit <math>\mathrm{M}(x,y)</math> un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par : 
<div style="text-align: center;"><math>(1) \qquad ux + vy + h = 0\,</math></div>

et <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0)</math> un point spécifique de (D), On a :
 
<div style="text-align: center;"><math>(2) \qquad ux_0 + vy_0 + h = 0\,</math></div>

En retranchant (2) à (1) on obtient : 
<div style="text-align: center;"><math>u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0\,</math></div>

En notant  <math>\vec{\mathrm{N}}</math>, le vecteur de coordonnées (''u, v''), on exprime (1) comme suit :

<div style="text-align: center;"><math>\vec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></div>

La droite d'équation <math>ux + vy + h = 0</math> est donc orthogonale au vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}</math>. Le vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}</math> est appelé un vecteur normal à la droite (D).

=== Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné===

Soit un point <math>\mathrm{M}(x,y)</math> et  un vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}\begin{pmatrix}u \\ v \end{pmatrix}</math> non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0)</math> et orthogonale à <math>\vec{\mathrm{N}}</math>, si et seulement si  :

<div style="text-align: center;"> <math>\vec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></div>

La droite (D), passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0)</math> et orthogonale à <math>\vec{\mathrm{N}}</math>, a  donc pour équation :

<div style="text-align: center;"><math>u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0\,</math></div>

=== Distance algébrique d'un point M(''x'', ''y'') à une droite d'équation ''ux'' + ''vy'' + ''h'' = 0 ===

Soit H le projeté de <math>\mathrm{M}(x,y)</math> sur (D) avec <math>\overrightarrow{\mathrm{HM}}</math> orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à (D) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur  <math>\vec{\mathrm{N}}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}</math>, on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :
: <div style="text-align: center;"><math>d_a(\mathrm{H}, \mathrm{M}) = \frac{ux+vy+h}\sqrt{u^2 + v^2}</math></div>
En valeur absolue: 
: <div style="text-align: center;"><math>\|\overrightarrow{\mathrm{HM}}\| = \frac{|ux+vy+h|}\sqrt{u^2 + v^2}</math>.</div>

=== Droite et pente ===

Pour ''v'' non nul,  la droite (D) d'équation <math>ux + vy + h = 0</math> possède une équation sous la forme <math>mx+b=y</math> avec
:<math>m= -\frac{u}{v}</math>
et 
:<math>b= -\frac{h}{v}</math>
La pente d'une droite est le réel 
:<div style="text-align: center;"><math>m = \tan(\alpha)\,</math>
L'angle &alpha; représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite (D).

=== Équation normale d'une droite ===

Dans le repère <math>\scriptstyle (\mathrm{O}, \vec \imath, \vec \jmath)</math>,notons <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}}(\cos\varphi, \sin\varphi)</math> un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle <math>\scriptstyle (\vec \imath, \vec{\mathrm{N}})</math>. On note d'autre part <math>p</math> la distance entre l'origine O du repère et la droite (D).

L'équation (1) s'écrit :

<div style="text-align: center;"><math>x \cos \varphi + y \sin \varphi - p = 0</math></div>

=== Angles de deux droites ===

Soit (D) et (D') deux droites d'équations 

<div style="text-align: center;"><math>(\mathrm{D}): ux+vy+h = 0\,</math></div>

<div style="text-align: center;"><math>(\mathrm{D'}): u'x+v'y+h' = 0\,</math></div>

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

<div style="text-align: center;"><math>\tan(\mathrm{D}, \mathrm{D'})= \tan(\vec{\mathrm{N}},\vec{\mathrm{N}'}) = \frac{uv'-u'v}{uu'+vv'}</math></div>

== La droite dans l'espace euclidien ==

=== Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace ===

==== Cas où la droite est définie par un point M<sub>0</sub> et un vecteur <math>\vec{\mathrm{V}}</math> non nul ====

La distance MH est donnée par 

<div style="text-align: center;"><math>\mathrm{MH} = \frac{\|\overrightarrow{\mathrm{MM}_0}\wedge \vec \mathrm{V} \|} {\|\vec \mathrm{V} \|}</math></div>

==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====

:<math>\mathrm{P}_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,</math>
:<math>\mathrm{P}_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0\,</math>

Le plan Q perpendiculaire à P<sub>1</sub> appartient au faisceau de plans P<sub>1</sub> + λP<sub>2</sub> = 0.

Le plan Q sera perpendiculaire à P<sub>1</sub> pour <math>\lambda = \frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}\,</math>.

Soit H<sub>1</sub>, H<sub>Q</sub> et H les projections orthogonales du point M respectivement sur P<sub>1</sub>, Q et (D). On en déduit <math>\mathrm{MH}^2 = \mathrm{MH}_1^2 + \mathrm{MH_Q}^2\,</math> .

On calculera <math>\mathrm{MH}_1\,</math> et <math>\mathrm{MH_Q}\,</math> comme détaillé au chapitre « Distance algébrique d'un point à un plan » ci dessous.

=== Droites orthogonales à un plan ===

Le plan étant défini par l'équation <math>ux + vy + wz + h = 0</math>, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites de vecteur directeur <math>\vec{\mathrm{N}}\begin{pmatrix}u \\ v \\\ w\end{pmatrix}</math>.
Une droite (D) passant par le point <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et perpendiculaire à <math>[\mathrm{P}] : ux + vy + wz + h = 0</math> a pour équations :
<div style="text-align: center;"><math>\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}</math></div>
dans le cas où aucun des réels, ''u'', ''v'', ''w'', n'est nul.

Si un seul des  des réels est nul, par exemple ''u''= 0, le système devient : 
<div style="text-align: center;"><math>x=x_0 \qquad \frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}</math></div>

Si deux réels sont nuls, par exemple ''u''=''v''=0, le système devient :
<div style="text-align: center;"><math>x=x_0 \qquad y=y_0</math></div>

=== Distance entre deux droites quelconque de l'espace ===

Soient la droite (D<sub>0</sub>) passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et de direction le vecteur <math>\vec \mathrm{V}_0\begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \\ c_0 \end{pmatrix}</math> et (D<sub>1</sub>) la droite passant par <math>\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1)</math> et de direction <math>\vec \mathrm{V}_1 \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix}</math>.

Si les vecteurs <math>\vec \mathrm{V}_0</math> et <math>\vec \mathrm{V}_1</math> sont indépendants, le volume du solide construit sur <math>\overrightarrow {\mathrm{M_0M_1}},\vec \mathrm{V}_0, \vec \mathrm{V}_1 </math> est égal à <math>|k|</math>. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :
: <math>k = (\overrightarrow {\mathrm{M_0M_1}},\vec \mathrm{V}_0, \vec \mathrm{V}_1)</math>.
L'aire de la base du solide est donnée par 
: <math>\|\vec \mathrm{W}\|</math> tel que <math>\vec{\mathrm{W}} = \vec{\mathrm{V}_0} \wedge \vec{\mathrm{V}_1}</math>
La distance entre les deux droites est alors égale à <math>d= \frac{|k|}{\|\vec{\mathrm{W}}\|}</math>.

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M<sub>1</sub> de la droite (D<sub>0</sub>).

== Le plan dans l'espace euclidien ==

=== Vecteur orthogonal  à un plan ===

Soit M(''x'', ''y'', ''z'') un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par : 
<div style="text-align: center;"><math>(1bis) \qquad ux+vy+wz+h=0</math></div>
Pour <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> un point spécifique de P on obtient : 
<div style="text-align: center;"><math>(2bis) \qquad ux_0+vy_0+wz_0+h = 0</math></div>
En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient : 
<div style="text-align: center;"><math>u(x-x_0)+v(y-y_0)+w(z-z_0) = 0\,</math></div>
En notant <math>\vec{\mathrm{N}}</math>, le vecteur de composantes <math>\begin{pmatrix}u \\ v \\ w\end{pmatrix}</math>, on exprime (1bis) comme suit :
<div style="text-align: center;"><math>\vec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></div>
Le plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> est donc orthogonal au vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}\begin{pmatrix}u \\ v \\ w \end{pmatrix}</math> et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

=== Plan passant par un point  et orthogonal à un vecteur non nul donné ===

Soit un point <math>\mathrm{M}(x,y,z)</math> et  un vecteur <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}</math> non nul. Le point M appartient au plan P, passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0, y_0)</math> et orthogonal à <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}}</math>, si et seulement si  :
:<div style="text-align: center;"> <math>\vec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></div>
Le plan P, passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et orthogonal à <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}}</math>, a  donc pour équation : :
:<div style="text-align: center;"><math>u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0\,</math></div>

=== Angles de deux plans ===

Soient P et P' deux plans d'équations

<div style="text-align: center;"><math>\mathrm{P} : ux+vy+wz+h = 0\,</math></div>
<div style="text-align: center;"><math>\mathrm{P'} : u'x+v'y+w'z+h' = 0\,</math></div>
L'angle  géométrique <math>(\mathrm{P}, \mathrm{P'})</math> est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux <math>(\vec{\mathrm{N}}, \vec{\mathrm{N'}})</math> 
<div style="text-align: center;"><math>\cos(\mathrm{P}, \mathrm{P'}) = |\cos(\vec{\mathrm{N}},\vec{\mathrm{N'}})|=\frac{|uu'+vv'+ww'|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\sqrt{u'^2+v'^2+w'^2}}</math></div>

=== Plans perpendiculaires ===

Les plan P et P' sont perpendiculaires si les vecteurs normaux <math>\vec{\mathrm{N}}</math> et <math>\vec{\mathrm{N'}}</math> sont orthogonaux. Ce qui implique <div style="text-align: center;"><math>uu'+vv'+ww' = 0 \,</math></div>

=== Distance algébrique d'un point M(''x'', ''y'', ''z'') à un plan P d'équation ''ux'' + ''vy'' + ''wz'' + ''h'' = 0 ===

Soit H la projeté de <math>\mathrm{M}(x,y,z)</math> sur P avec <math>\overrightarrow{\mathrm{HM}}</math> orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur  <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}</math>, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :
: <div style="text-align: center;"><math>d_a(\mathrm{H}, \mathrm{M}) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></div>
En valeur absolue: 
<div style="text-align: center;"><math>\|\overrightarrow{\mathrm{HM}}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></div>.

=== Équation de plan et déterminant ===

==== Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires ====

Soient un point <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et deux vecteurs <math>\vec \mathrm{V}_1</math> et <math>\vec \mathrm{V}_2</math> non colinéaires. Un point M(''x'', ''y'', ''z'') appartient au plan P passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et de directions <math>\vec \mathrm{V}_1</math> et <math>\vec \mathrm{V}_2</math> si et seulement s'il existe deux réels &lambda; et &mu; tels que  <math>\overrightarrow{\mathrm{MM}_0} = \lambda \vec \mathrm{V}_1 + \mu \vec \mathrm{V}_2</math>. Cette égalité exprime que <math>\overrightarrow{\mathrm{MM}_0}</math>, <math>\vec \mathrm{V}_1</math> et \vec \mathrm{V}_2</math> sont coplanaires. 

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

:<math>
\det(\overrightarrow{\mathrm{MM}_0},\vec \mathrm{V}_1(a_1,b_1,c_1), \vec \mathrm{V}_2(a_2,b_2,c_2))=0
</math>

Son équation est :

:<math>\begin{vmatrix}
x-x_0 & a_1 &a_2\\ 
y-y_0 & b_1 &b_2\\ 
z-z_0 & c_1 &c_2
\end{vmatrix}
= (b_1c_2 - c_1b_2)(x-x_0) + (c_1a_2 - a_1c_2)(y-y_0) + (a_1b_2 - b_1a_2)(z-z_0)
= 0
</math>
que l'on peut écrire sous la forme <math>ux+vy+wz+h=0</math>

==== Plan défini par deux points et un vecteur  ====

Soient deux points <math>\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1)</math> et <math>\mathrm{M}_2(x_2,y_2,z_2)</math> et un vecteur <math>\vec \mathrm{V}_1 \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> non colinéaire à <math>\overrightarrow{\mathrm{M_1M_2}}</math>.

Le point M appartient au plan passant par <math>\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1)</math>, <math>\mathrm{M}_2(x_2,y_2,z_2) </math> et de direction <math>\vec \mathrm{V}_1 \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> si et seulement si les trois vecteurs : <math>\overrightarrow{\mathrm{M_1M}},\overrightarrow{\mathrm{M_2M_1}},\vec \mathrm{V}</math>sont  coplanaires, donc :

:<math>
\det(\overrightarrow{\mathrm{M_1M}},\overrightarrow{\mathrm{M_2M_1}},\vec \mathrm{V})=0
</math>
Son équation est :

:<math>\begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & a\\ 
y-y_1 & y_2-y_1 & b\\ 
z-z_1 & z_2-z_1 & c
\end{vmatrix}
= 0
</math>

==== Plan défini par trois points  non alignés ====

Soient <math>\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1), \mathrm{M}_2(x_2,y_2,z_2), \mathrm{M}_3(x_3,y_3,z_3) </math>, trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, L'équation du plan passant par ces trois point est 

:<math>\begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_2\\ 
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_2\\ 
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_2
\end{vmatrix}
= 0
</math>

== Voir aussi ==

* [[Géométrie descriptive]]

[[Catégorie:Géométrie]]