Voir la source de Intégrale impropre (E-M)

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Pour simplifier, une [[w:intégrale impropre|intégrale impropre]] est l'intégrale sur ]a , b[ d'une fonction dont la primitive n'est pas définie en ''a'' ou en ''b''

*<math>\star\star</math>Pour quelles valeurs des paramètres réels <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>, l'intégrale suivante existe-t-elle ? <math>\int_e^{+\infty} {dt \over t^\alpha\,(\ln t)^\beta}</math> (intégrale de Bertrand).


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<div class="NavHead" align="{{{alignT|center}}}">Solution</div>
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pour <math>\alpha</math> >1 et <math>\beta</math> quelconque, ou <math>\alpha</math> =1 et <math>\beta</math> >1

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* Calculer pour tout <math>n\in \mathbb{N}</math> , l'intégrale <math>\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}</math>.

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:<math>\begin{align}
  & \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}=\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{1}{x}\left(\frac{1}{4^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix}
   2n+1  \\
   n-k  \\
\end{matrix} \right)\sin \left(\left( 2k+1 \right)x \right)} \right)dx} \\ 
 & \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}=\frac{1}{4^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix}
   2n+1  \\
   n-k  \\
\end{matrix} \right)\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin \left(\left( 2k+1 \right)x \right)}{x}dx}} \\ 
\end{align}</math>

<br />Or on a <math>\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin \left(\left( 2k+1 \right)x \right)}{x}dx}=\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\frac{\pi }{2}</math>.<br />

<br />Donc on obtient <math>\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}=\frac{\pi }{2^{2n+1}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix}
   2n+1  \\
   n-k  \\
\end{matrix} \right)}</math>.<br />

<br />Comme <math>\sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix}
   2n+1  \\
   n-k  \\\end{matrix} \right)}=\left( \begin{matrix}
   2n  \\
   n  \\\end{matrix} \right)</math> .<br />

<br />D'où <math>\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}=\frac{\pi }{2^{2n+1}}\left( \begin{matrix}
   2n  \\
   n  \\
\end{matrix} \right)</math>.<br />

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* <br />Calculer pour tout <math>n\in \mathbb{N}^{*}</math> l’intégrale <math>I_{n}=\int\limits_{1+\frac{2}{n}}^{+\infty }{\frac{dx}{x\left(nx-n-1 \right)\sqrt{1+2x+...+nx^{n-1}}}}</math>.<br />

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<div class="NavHead" align="{{{alignT|center}}}">Solution</div>
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<br />Tout d’abord , on a <math>1+2x+...+nx^{n-1}=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}{x^{k}} \right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \right)=\frac{x^{n}\left(nx-n-1 \right)+1}{\left(1-x \right)^{2}}</math>.<br />

<br />D’où on a <math>I_{n}=\int\limits_{1+\frac{2}{n}}^{+\infty }{\frac{\left(x-1 \right)dx}{x\left(nx-n-1 \right)\sqrt{x^{n}\left(nx-n-1 \right)+1}}}</math>.<br />

<br />Faisons un changement de variable , pour cela posons <math>y=\sqrt{x^{n}\left(nx-n-1 \right)+1}</math>.<br />

<br />D’où <math>I_{n}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\int\limits_{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}^{+\infty }{\frac{dy}{\left(y-1 \right)\sqrt{y}}}</math>.<br />

<br />Et un petit changement de variable encore avec <math>t=\sqrt{y}</math> , ce qui donne : <math>I_{n}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\int\limits_{\sqrt{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}}^{+\infty }{\frac{2}{t^{2}-1}dt}</math>.<br />

<br />D’où <math>I_{n}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\int\limits_{\sqrt{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}}^{+\infty }{\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right)dt}</math>.<br />

<br />D’où <math>I_{n}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\left[ \ln \left(\frac{t-1}{t+1} \right) \right]_{\sqrt{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}}^{+\infty }</math>.<br />

<br />Finalement on obtient :: <math>\overline{\overline{\underline{\underline{\int\limits_{1+\frac{2}{n}}^{+\infty }{\frac{dx}{x\left(nx-n-1 \right)\sqrt{1+2x+...+nx^{n-1}}}}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\ln \left(\frac{\sqrt{1+\left( 1+\frac{2}{n} \right)^{n}}-1}{\sqrt{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}+1} \right)}}}}</math>.<br />

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[[Catégorie:Exercices de mathématiques]]