Voir la source de Construction navale/Calcul des espars

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<!--{{En travaux}}-->

<center>{{Vignette d'une couverture d'un wikilivre
|éditeur=<small>Goélette Cardabela</small>
|titre=Calcul des espars
|sous-titre=<small><small>Dans la construction navale</small></small>
|image de couverture=Le Belem par petit vent.jpg
|couleur de couverture=#88EEEE
|couleur du texte=white
}}
<small><small>Couverture du livre compilé</small></small></center>
{{orange|Le [[Construction_navale/Calcul_des_espars|Contenu]] est configuré pour être imprimé en livret A5 à l'échelle d'impression de 120% et marges de 15 mm.}}<br />
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__TOC__
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{{Title page
|title=Le calcul des espars
|subtitle=dans la construction navale
|editor=Goélette Cardabela
}}

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== Introduction - Définition de l'« ''espar'' » ==
<p style="font-family:serif; font-size:1.1em">
[[File:Wikipedia's W.svg|20px|Wikipedia's W]]ikipedia :  « Sur un [[w:bateau|bateau]], un '''espar''' (mot étymologiquement apparenté à l'allemand ''Spiere'' et à l'anglais ''spar'', qui ont la même signification) est un élément de [[w:gréement|gréement]] long et rigide, originellement en bois, et ayant un rôle technique à jouer dans la propulsion (à voile) et les manœuvres.<br/>Entrent dans la catégorie des espars les [[w:mât|mâts]], [[w:bôme|bômes]], [[w:vergue|vergues]], [[w:bout-dehors|bouts-dehors]], [[w:queue de malet|queues de malet]], [[w:livarde|livardes]], [[w:wishbone|wishbones]]. On peut aussi y associer les éléments mobiles tels que [[w:Aviron (rame)|avirons]], [[w:Barre (bateau)|barres]], [[w:tangons|tangons]], etc. » </p>

[[File:Cardabela Plan du haubannage 01.png|400px|center|Cardabela Plan du haubanage 01]]
<center>1 daN ≅ 1 kg<sub>f</sub></center>

<center>Calcul du gréement de la goélette Cardabela.</center>
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== Unités de mesure ==
''' <big>Remarques concernant l'expression des unités de mesures dans ce chapitre</big> '''

<span style="font-family:serif; font-size:1.1em"> Nous utilisons le [[w:Système_CGS|'''système d'unités CGS''']]<ref>''https://fr.wikipedia.org/wiki/Système_CGS''</ref> plus proche de notre perception qu'avec les unités du ''Système international'' '''SI'''.</span>

Nous utilisons cependant l'expression '''kg<sub>f</sub>''' du [[w:Kilogramme-force|'''Kilogramme-force''']]<ref>''https://fr.wikipedia.org/wiki/Kilogramme-force''</ref> qui est une ancienne expression de la force, indépendante du ''Système de mesures CGS'' et du [[w:Système_international_d'unités|''Système international d'unités'']]<ref>''https://fr.wikipedia.org/wiki/Système_international_d'unités''</ref>. Le <code>'''kg<sub>f</sub>'''</code> est à la fois une unité de force et de poids : le <code>'''kg<sub>p</sub>'''</code> ou encore le <code>'''kg'''</code> que tout le monde connaît en faisant ses courses.<br />On devrait utiliser le <code>'''dyne'''</code> comme unité de force, mais qui ? a une notion réaliste de cette mesure ?

Les formules mathématiques sont en [[LaTeX]]<ref>Livre détaillé : ''https://fr.wikibooks.org/wiki/LaTeX''</ref>, le rendu des expressions à l'écran est différent du rendu imprimé. Nous avons essayé de minimiser cet effet.

<references />

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<big><big> '''Sommaire''' </big></big>
<div style="font-size:85%;">
<pre>
    1 Les mâts (p1)
        1.1 Généralités sur les mâts
        1.2 Calcul de résistance des mâts à la compression (p2)
            1.2.1 Exemple de calcul pour des mâts ronds pleins en mélèze
                1.2.1.1 Calcul pour un mât en mélèze de 10 cm de diamètre
                1.2.1.2 Corollaire pour un mât en mélèze de 20 cm de diamètre
            1.2.2 Exemple pour un mât creux en aluminium (p3)
                1.2.2.1 Calcul pour un mât de 5,4 kg par mètre
            1.2.3 Conclusions
        1.3 Calcul de la résistance des mâts au flambage (p4)
            1.3.1 Formule générale à la rupture
                1.3.1.1 Charge critique au flambage (p5)
                    1.3.1.1.1 Charge critique pour les espars guidés aux extrémités
                              (Exemples pour le bois et l'aluminium)
                1.3.1.2 Charge pratique de résistance au flambage (p6)
            1.3.2 Exemple de calcul pour un mât plein en mélèze
            1.3.3 Exemple de calcul pour un mât rond creux en aluminium (p7)
            1.3.4 Exemple de calcul pour un mât elliptique creux en aluminium (p9)
        1.4 Notes et références
    2 Les épontilles (p10)
        2.1 Calcul des épontilles de sections rectangulaires
        2.2 Notes et références
    3 Les beauprés (11)
        3.1 Calcul de beauprés de sections rectangulaires
        3.2 Comment effectuer ce calcul de compression du beaupré ?
        3.3 Exemple pratique
            3.3.1 Quelle doit être la section du beaupré en bois ?
            3.3.2 Résistance au travail de compression
            3.3.3 Charge limite au flambage
            3.3.4 Conclusion
        3.4 Notes et références
    4 Liens (p13)
</pre>
</div>
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== Les mâts ==
=== Généralités sur les mâts ===
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*Les mâts en aluminium sont souvent plus légers que les câbles en acier inoxydable qui les maintiennent.

*Les mâts en bois plein sont très lourds. 

*Les mâts en bois peuvent être creux en bois contrecollé ou lamellé-collé de formes variables. Ces mâts restent lourds lorsque l'on veut une résistance importante à la compression et au flambage.

*La section, ''ou le poids linéaire'', des mâts détermine leur '''résistance à la compression'''<ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Essai_de_compression</ref>. C'est la contrainte maximale admissible par un matériau soumis à une charge d’écrasement<ref>http://www.instron.fr/fr-fr/our-company/library/glossary/c/compressive-strength</ref>.

*Le profil d'un mât, rond ou elliptique, détermine sa '''résistance au flambage'''<ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Flambage</ref> longitudinal et latéral. Le flambage est également appelé le flambement. Lorsqu'une structure est compressée dans le sens de la longueur, elle a tendance à fléchir perpendiculairement à l'axe de la force appliquée, en raison d'un phénomène d'instabilité élastique.  
**Le petit diamètre, plus sensible au flambage, supporte les barres de flèches latérales.
**Lorsqu'il est nécessaire de maintenir le mât au flambage dans sa section longitudinale, on adopte parfois un étai de trinquette avec des bastaques largables ou non.

*La longueur du mât : Le mât est approximativement égal ou plus grand que la longueur de coque du voilier. Selon le type de bateau; croisière hauturière, plaisance pour l'été, voilier pour la course, cette longueur va être adaptée. Le mât sera plus long pour chercher le vent en hauteur, donc pour la course, il sera plus court pour faciliter la manipulation des voiles par un équipage très réduit. En ce début de ce {{XXIe siècle}} les mâts à enrouleurs sont devenus plus populaires et facilitent les manœuvres, on va très probablement voir apparaître des mâts plus longs.

''Lien intéressant :'' Méthodes de fabrication des mâts en aluminium et carbone sur le site nauticaltrek.com<ref>https://nauticaltrek.com/trucs-et-astuces/construction/mat-aluminium-carbone/comment-page-1/#comment-12174]</ref>.
<references />
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=== Calcul de résistance des mâts à la compression ===
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<cite>Pour un '''même matériau''', la résistance à la compression ne dépend que du poids linéaire du mât. En effet le poids linéaire est le produit d'une '''section''' par une longueur et une densité. Le poids linéaire ne dépend que de la section.</cite>

==== Exemple de calcul pour des mâts ronds pleins en mélèze ====
Caractéristiques du mélèze :
 ''' Poids sec :''' 600 kg le mètre cube ou '''0,6 kg le dm<sup>3</sup>'''
 ''' Résistance à la compression :''' 53 MPa (Méga-Pascal), ou '''530 kg<sub>f</sub>/cm²'''

===== Calcul pour un mât en mélèze de 10 cm de diamètre =====
La résistance de travail à la compression pour le bois devrait être égale au cinquième de la résistance à la rupture; '''on adopte ici 100&nbsp;kg<sub>f</sub>&nbsp;par&nbsp;cm²''' pour tenir compte des défauts, de la fatigue des matériaux<ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Fatigue_(matériau)</ref>, et du coefficient de sécurité<ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_de_sécurité</ref>.

 ''' Surface de compression :''' (3,14 x 10 x 10) / 4 = '''78,5 cm²'''
 ''' Résistance au travail :''' 78,5 x 100 = '''7&nbsp;850 kg<sub>f</sub>'''
 ''' Poids :''' (78,5 / 1&nbsp;000) x 0,6 = '''4,71 kg par mètre'''
<small>''Remarque : Section * densité / longueur => 78,5 * 0,6 = 47,1 grammes-poids par cm ou 4,71 kg / mètre''</small>

'''Pourquoi prendre pour exemple un diamètre de 10 cm ?''' <br />Il suffit d'élever au carré le rapport des diamètres pour évaluer un autre mât !
Exemple : Pour un mât de 20 cm de diamètre, il suffit d'élever au carré le rapport 20/10, soit quatre fois la valeur des résultats précédents.

===== Corollaire pour un mât en mélèze de 20 cm de diamètre =====
 ''' Résistance au travail :''' 7&nbsp;850 x 4 = '''31&nbsp;400 kg<sub>f</sub>'''
 ''' Poids :''' 4,71 x 4 = '''18,84 kg par mètre'''
On imagine le poids des premiers mâts du voilier [[w:Bernard_Moitessier#Joshua|Joshua]] de Bernard Moitessier : avec <cite>des poteaux télégraphiques comme mâts et des câbles EDF en gréement dormant</cite><ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Bernard_Moitessier#Joshua Mâts en bois plein de Joshua voilier de B Moitessier dans sa première version.</ref><br />
Avec un tel mât planté au travers du pont, à ''vue de nez'' il ne sera pas nécessaire de l'étayer avec des barres de flèche et des câbles lourds en acier galvanisé.

==== Exemple pour un mât creux en aluminium ====
Caractéristiques de l'aluminium :
 ''' Résistance de rupture à la compression de l'aluminium :''' 60 kg/mm² ou '''6&nbsp;000 kg/cm²'''
 ''' ⇒ Résistance au travail avec un coefficient de sécurité de 3 : 2&nbsp;000&nbsp;kg/cm²'''
 ''' Poids de l'aluminium pour 1 décimètre-cube (densité) :''' 2,7 kg/dm<sup>3</sup>

===== Calcul pour un mât de 5,4 kg par mètre =====
 ''' Poids du mât pour 1 dm : 0,54 kg'''
 ''' Surface à la compression d'une section transversale du mât :''' 0,54/2,7 = 0,2 dm² ou '''20 cm²'''
 ''' Résistance au travail à la compression :''' 20 x 2&nbsp;000 = '''40&nbsp;000 kg<sub>f</sub>'''

Pour un mât cylindrique de 20 cm de diamètre moyen ou un mât ovale de 22 x 18 cm :
 ''' Circonférence du tube :''' 3,14 x 20 = '''62,8 cm'''
 ''' Épaisseur du tube :''' 20 / 62,8 = '''0,32 cm'''

==== Conclusion ====
Les longs mâts en bois pleins sont très lourds, ils sont à proscrire car ils rendent le voilier instable.

Les mâts en bois creux seront défavorisés par rapport aux mâts en aluminium car la résistance au travail à la compression, qui est déterminant dans les calculs des mats, est de 100&nbsp;kg<sub>f</sub> par cm² contre 2&nbsp;000&nbsp;kg<sub>f</sub> par cm² pour l'aluminium. <br />Le poids linéaire du bois est environ trois fois plus léger que l'aluminium. Pour un mât en bois creux : Afin d'obtenir la même résistance à la compression que pour un mât en aluminium il faudrait concevoir un mâts d'un poids linéaire d'environ {{Formatnum:2000}}/300 = 6,6 fois plus important. Pour l'équivalent d'un mât en aluminium de 5,4 kg par mètre il faudrait un mât en bois de 5,4 * 6,66 = 35 kg par mètre.

'''L'aluminium a bien l'avantage sur le bois !'''
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=== Calcul de la résistance des mâts au flambage ===
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{{Début cadre|fond=#ffddbf20}}

Ce sont les formes qui offrent une résistance au flambage. Un mât en bois plein est résistant mais il est très lourd. Pour alléger le poids du mât tout en garantissant sa résistance à la compression on utilise des matériaux légers, en général l'aluminium d'un prix acceptable, avec une section elliptique avec un côté large, là où l'on ne peut pas facilement disposer de raidisseur et un côté moins large où l'on peut fixer des raidisseurs (Barres de flèche et haubans)

Plus le matériau est dur plus il résistera au flambage.

==== Formule générale à la rupture ====
Selon l'article [[w:Flambage|Flambage]]<ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Flambage</ref> sur Wikipédia :
<math>F=\frac{\pi^2 E I}{l_k^2}</math>

où, dans le système international d'unités,
<math>E</math> est le [[w:module d'Young|module d'Young]]<ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Module_de_Young</ref> du matériau ; 70&nbsp;GPa (Giga Pascal) pour l'aluminium, entre 10 et 13 GPa pour le bois.

<math>I</math> est le [[w:moment quadratique|moment quadratique]]<ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_quadratique</ref> de la poutre, en m<sup>4</sup><br />
<math>l_k</math> est la longueur de flambement de la poutre, en mètre.

<cite>Cette charge critique est évidemment limitée par la résistance en section de la poutre (en dessous d'un certain élancement, la rupture par compression est atteinte avant l'apparition du flambage). Dans le cas réel, la rupture par flambage est atteinte encore plus précocement en raison notamment des imperfections de production et de mise en œuvre (voir ci-dessous).</cite>

===== Charge critique au flambage =====
<!--Avec la formule transposée dans le système CGS pour une meilleure compréhension, je l'espère, de nos calculs :-->
Selon le Müller<ref>Formulaire technique de mécanique générale de Jacques MÜLLER {{ISBN|2853140016}}</ref>, bible des ingénieurs d'autrefois :
 <small> <math> Pr = k\frac{\pi^2 E I}{l^2}</math> </small>
 &nbsp;avec : l en cm, E en kg/cm², I en cm<sup>4</sup> et Pr en Kg<sub>f</sub>

''Avec cette formule transposée dans le système CGS, comme on les trouvait avant les dernières directives sur les unités de mesure<ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Unité_de_mesure#Unités_hors_du_Système_international_d'unités</ref>.''
 &nbsp;k = 1 pour les extrémités guidées. (Cas des mâts posés sur le pont)
 &nbsp;k = 0,25 pour une extrémité encastrée et l'autre extrémité mobile.
 &nbsp;k = 2 pour une extrémité encastrée et l'autre extrémité guidée. (Cas de Joshua première version)
 &nbsp;k = 4 pour les deux extrémités encastrées.

====== Charge critique pour les espars guidés aux extrémités (Exemples pour le bois et l'aluminium) ======
Rappels :
 &nbsp;k = 1, 
 &nbsp;Pour le bois E = 11 GPa ou 110&nbsp;000 Kg/cm²
Charge critique au flambage pour les espars en bois (formule bâtarde) :
 ''' Pr = 110 I / L²''' avec I en cm<sup>4</sup>, {{rouge|L en mètre}}, E = 11·10<sup>4</sup> kg/cm².
Charge critique au flambage pour les espars en aluminium (formule bâtarde) :
 ''' Pr = 700 I / L²''' avec I en cm<sup>4</sup>, {{rouge|L en mètre}}, E = 70·10<sup>4</sup> Kg/cm².

===== Charge pratique de résistance au flambage =====
Éléments de calcul des moments quadratiques de la section S pour un espar rond creux :
[[Image:MQtube.jpg|120px|right|thumb| Section annulaire]]
<small><math> I_x= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{64}</math> moment quadratique par rapport à l'axe des x.<br />
<math> I_y= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{64}</math> moment quadratique par rapport à l'axe des y. <br />
<math> I_S= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{32}</math></small> avec D et d en cm
{{clr}}
Pour évaluer la résistance au [[#Exemple de calcul pour un mât elliptique creux en aluminium|flambage d'un mât elliptique]] on prend <math>I = 2 \cdot I_x</math> ou  <math> I = 2 \cdot I_y</math>
Dans cette même page : <br />[[#Exemple_de_calcul_pour_un_m%C3%A2t_elliptique_creux_en_aluminium]]

{{Nouvelle page imprimée}}
Charge pratique au flambage :
 ''' Pp = Pr / n'''
 '' n est un coefficient de sécurité.''
 &nbsp;n = 5 pour les métaux homogènes.
 &nbsp;n = 8 pour la fonte.
 &nbsp;n = 7 pour le bois.

Résumé, pour les espars en aluminium :

'''Charge pratique pour les espars en aluminium, mâts, barres de flèches, tangons. (Formule bâtarde)'''
 ''' Pp = 140 I / L²'''
 Coefficient de sécurité = 5; Pp en kg<sub>f</sub>, I en cm<sup>4</sup>, {{rouge|L en mètre}}.

==== Exemple de calcul pour un mât plein en mélèze ====
Diamètre : 20 cm, longueur : 15 mètres; encastré dans la coque sur 2 mètres.

Rappels :
 &nbsp;k = 2 pour une extrémité encastrée et l'autre extrémité guidée. (Cas de Joshua première version)
 &nbsp;<small><math>I = \pi/32 \cdot (D^4 - d^4)</math></small> avec D et d en cm
 &nbsp;I = (3,14 / 32) * 20 * 20 * 20 * 20 => 15&nbsp;708 cm<sup>4</sup>
 &nbsp;<small><math>Pr = 110 \ I / L^2</math></small> 
Charge critique :
 ''' pr =''' 110 * 15&nbsp;708 / (13 * 13) = '''10&nbsp;224 Kg<sub>f</sub>'''

Charge pratique pour un mât rond plein en mélèze de diamètre 20 cm et d'une longueur de 13 mètres<br />
''hors encastrement, au dessus du pont, sans barre de flèche''
 ''' Pp = '''10&nbsp;224 / 7 = '''1&nbsp;460 Kg<sub>f</sub>'''
{{RemarqueIndex|<small>Avec un étayage à mi-hauteur on aurait une charge pratique quatre fois plus importante, de l'ordre de 5&nbsp;842 Kg<sub>f</sub>. Ceci est à comparer à la résistance au travail calculé dans la section précédente : 31&nbsp;400 Kg<sub>f</sub> :</small><br />
[[#Corollaire_pour_un_mât_en_mélèze_de_20_cm_de_diamètre]]}}

==== Exemple de calcul pour un mât rond creux en aluminium ====
On reprend l' exemple pour un mât de 13 mètres en aluminium, posé sur le pont; 5,4 kg par mètre; diamètre 20 cm; épaisseur 3,2 mm.
Rappels :
 '' k = 1 pour les extrémités guidées.''
 &nbsp;I = π/32 (D<sup>4</sup> - d<sup>4</sup>)avec D, diamètre extérieur; et d = D - 2e
 &nbsp;I = 3,14 / 32 * (20<sup>4</sup> - 19,36<sup>4</sup>) = 1&nbsp;916 cm⁴
 &nbsp;Pr = 700 I / L² avec I<sub>0</sub> en cm<sup>4</sup>; L = 13 m; E = 7&nbsp;000 kg/m².
 &nbsp;'''Pr =''' 700 * 1&nbsp;916 / 169 = '''7&nbsp;936 kg<sub>f</sub>'''
Charge pratique pour un mât en aluminium de diamètre 20 cm; d'une épaisseur de 3,2 mm; de longueur 13 mètres; guidé aux extrémités.
 &nbsp;'''Pp =''' 7&nbsp;936 / 5 = '''1&nbsp;587 Kg<sub>f</sub>'''
''Avec un étayage à mi-hauteur on aurait une charge pratique quatre fois plus importante, de l'ordre de 6&nbsp;349 Kg<sub>f</sub>''<br />
''Avec deux barres de flèches : 14&nbsp;286 Kg<sub>f</sub>''

{{RemarqueIndex|Ceci est à comparer à la ''Résistance au travail à la compression'' calculé dans la section précédente ; 40&nbsp;00O Kg<sub>f</sub>:<br />[[#Calcul_pour_un_mât_de_5,4_kg_par_mètre]]}}

==== Exemple de calcul pour un mât elliptique creux en aluminium ====
L'inertie quadratique moyenne par rapport à un point extérieur aura la même valeur pour le mât elliptique creux et le mât rond creux. Du fait de son écrasement les valeurs de l'inertie quadratique selon les axes x et y sera différent.

Rappel de la définition sur wikipedia :
[[Image:MQdéfinition.jpg|175px|right|thumb| Schéma ]]
[[w:Moment_quadratique#Définition_générale]] :

<div style="font-size:85%;">
 '' Moment quadratique de la section <math>S</math> par rapport à l’axe <math>O\vec x </math> :<br /> <math>I_x = \int_{S}y^2\, \mathrm ds = \iint_{S}y^2\, \mathrm dx\mathrm dy</math>''
 '' Moment quadratique de la section <math>S</math> par rapport à l’axe <math>O\vec y </math> :<br /> <math>I_y= \int_{S}x^2\, \mathrm ds = \iint_{S}x^2\, \mathrm dx\mathrm dy</math>''
 '' Moment quadratique (polaire) de <math>S</math> par rapport au point <math>O</math> :<br /> <math>I_O= \int_{S}r^2\, \mathrm ds  = \iint_{S}r^2\, \mathrm dx\mathrm dy</math>''

'''Remarques :'''<br />
On a <math> I_G = I_x + I_y</math> puisque <math> r^2=x^2+y^2</math> ([[w:Théorème de Pythagore|Théorème de Pythagore]]).

''Il découle de ces définitions que plus les éléments de la section sont situés loin de l'axe, plus le moment quadratique sera important.''
</div>

'''Définitions :'''<br />
Avec les mêmes caractéristiques que le mât rond creux mais ovalisé à 22 cm x 18 cm
<div style="font-size:85%;">
 &nbsp;Grand diamètre gd = 22; 
 &nbsp;Petit diamètre pd = 18;
 &nbsp;Diamètre moyen <small><math>D = \frac {gd + pd} {2}</math></small> est égal au diamètre moyen du mât rond creux
 &nbsp;<small><math>I_G = Igd + Ipd</math></small>
</div>
Inertie quadratique :
<div style="font-size:85%;">
 &nbsp;Inertie quadratique selon l'axe de grand diamètre :
 &nbsp;<math>Igd = I_G \cdot \frac {gd} {2 \cdot D}</math>
 &nbsp;Inertie quadratique selon l'axe de petit diamètre :
 &nbsp;<math>Ipd = I_G \cdot \frac {pd} {2 \cdot D}</math>
</div>
La partie la plus sensible au flambage est le petit diamètre :
 '''Pour l'évaluation du flambage à la compression on prend I = 2·Ipd'''

'''Charge limite pour le flambage :'''<br />
Inertie quadratique avec D = (gd + pd) / 2, gd = 22 cm, pd = 18 cm, e = 0,32 cm, d = D - 2·e en cm
 &nbsp;<small> <math>I_G = \pi/32 \cdot (D^4 - d^4)</math></small>
 &nbsp; I<sub>G</sub> = 3,14 / 32 * (20<sup>4</sup> - 19,36<sup>4</sup>) = 1&nbsp;916
 &nbsp; I = 2·Ipd = 2·I<sub>G</sub> * pd / 2·D
 &nbsp; '''I =''' <s>2</s> * 1&nbsp;916 * 18 / (<s>2</s> * 20) = 1&nbsp;916 * 18 / 20 = '''1&nbsp;724 cm⁴'''
'''Charge limite avec trois étages guidés à 4 m, 8 m et 13 m''' &nbsp;
 &nbsp; Pr = 700·I / L²
 &nbsp; Pour la plus grande longueur guidée de 4 mètres : '''L² = 16'''
 &nbsp; '''Pr =''' 700 * 1&nbsp;724 / 16 = '''83&nbsp;825 Kg<sub>f</sub>'''

'''Charge pratique pour un mât elliptique en aluminium de 22x18 cm, d'une épaisseur de 3,2 mm, de longueur 13 mètres, guidé par deux barres de flèches à 4 et 8 mètres.'''
 ''' Pp =''' 83&nbsp;825 / 5 = '''16&nbsp;765 Kg<sub>f</sub>'''
==== Conclusion ====
Dans la conclusion du chapitre précédent sur la résistance des mâts à la compression :<br />
<small><cite>... Pour l'équivalent d'un mât en aluminium de 5,4 kg par mètre il faudrait un mât en bois de 5,4 * 6,66 = 35 kg par mètre.<br />'''L'aluminium a bien l'avantage sur le bois !'''</cite></small>

Pour le flambage : Si le mât creux en bois n'est pas conditionné par une évaluation de sa résistance à la compression comme ci-dessus, '''on détermine sa section en fonction de la charge estimée''', sa section peut être rectangulaire ou ronde. On agit sur les dimensions de la section '''puis on évalue les risques de flambage selon les longueurs libres guidées ou non par des barres de flèches et les étais.''' On corrige les dimensions de la section sans changer sa surface de compression jusqu'à obtenir satisfaction. Il faudra sûrement trouver des compromis !

Le mât en bois n'est pas à proscrire. Sur un ''Voilier ancien'', un ''Vieux Gréement'', un mât en aluminium n'est pas de mise.

=== Notes et références ===

<references/>

{{Fin rendu LaTeX}}

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== Les épontilles ==
=== Calcul des épontilles de sections rectangulaires ===
<!--{{Début rendu LaTeX|bleu}}-->
{{début cadre|vert|fond=#bfddff20}}

[[Image:MQrectangle.jpg|180px|right|thumb|<center>Section rectangulaire</center>]]
Les épontilles sont des poutres ou des tubes disposés verticalement pour supporter les mâts des bateaux, elles évitent un écrasement du pont.

; Compression pour les épontilles en bois de sections rectangulaires :
Section S = b * h b et h en cm S en cm²
Charge pratique à la compression :  
 &nbsp;<math> Pp = 100 * S </math><br /> pour un coefficient de sécurité de 5

; Flambage :
<math> I_x= \frac {b \cdot h^3}{12}</math> <br />
<math> I_y= \frac {h \cdot b^3}{12}</math> <br />
<math> I_G= \frac {b \cdot h}{12} \cdot (b^2+h^2) </math>
Pour le calcul des épontilles on utilise généralement <math> I = 2 \cdot I_y </math> en cm⁴
{{clr}}
; Charge limite :
k = 4 pour deux extrémités pseudo encastrées (maintien par le plancher ou par les aménagements)<br />
<math>Pr = k \cdot 110 \ I / L^2</math> avec I<sub>0</sub> en cm<sup>4</sup>; {{rouge|L en mètre}}, et E = 110000 kg/cm² (11GPa)

'''Charge pratique pour le bois Pp = Pr / 7''' <br />''Rappel : Pr / 5 pour l'aluminium''

;Exemple pour une épontille en kotibé de 4 x 20 cm et 2 m de hauteur :
 '''Pr =''' 4 x 110 x 2 x 20 x 4³ / 12 x 2² = '''23 466 kg'''
 '''Pp =''' 23 466/7 = '''3 352 kg'''
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== Les beauprés ==
=== Calcul de beauprés de sections rectangulaires ===
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<!--div class="noprint">{{En cours}}</div-->
[[File:Ship-bowsprit.png|thumb|180px|1 : Bout-dehors ou bâton de foc volant<br />2 : Beaupré<br />3 : Étai de trinquette<br />4 : Étai de foc ou de génois<br />8 : Amure de foc volant<br />13 : Sous-barbe]]
[[File:Cardabela Beaupré.jpg|thumb|180px|Goélette Cardabela<br /><center>Beaupré en bois peint et<br />bout-dehors en aluminium</center>]]
Le mât de beaupré ou beaupré se trouve à la proue d'un navire, fortement incliné vers l'avant.

Il est destiné à avancer le centre de voilure, il supporte les étais avant du mât le plus à l'avant (généralement le mât de misaine), Il est souvent prolongé par un bout-dehors. 

La compression du beaupré dépend de l'effort supporté par l'étai de foc. L'effort est repris par la sous-barbe.

=== Comment effectuer ce calcul de compression du beaupré ? === 
On peut l'évaluer en connaissant la résistance du câble de sous-barbe, de l'angle α qu'il fait avec le beaupré, et de l'ange β que fait l'étai de foc avec ce même beaupré.<br />Par exemple avec une sous-barbe en câble d'acier inoxydable de 12 mm et un angle α de 30°, de '''charge maximale d'utilisation {{formatnum:1654}}&nbsp;kg<sub>f</sub>''' et une rupture à {{formatnum:8270}}&nbsp;kg<sub>f</sub>

Pour effectuer ce calcul on peut utiliser des vecteurs sur une feuille de papier millimétré ou calculer le couple qui s’exerce sur l'extrémité du beaupré de longueur L :<br />
La force du couple qui tire le beaupré vers le haut est égal au produit de la projection de la force de traction du hauban <math>\vec Fh</math> perpendiculairement au beaupré par la longueur du beaupré : <math>Fh \cdot \sin \beta \cdot L</math><br />
La force du couple qui tire le beaupré vers le bas est égal au produit de la projection de la force de traction de la sous barbe <math>Fs</math> perpendiculairement au beaupré par la longueur du beaupré : <math>Fs \cdot \sin \alpha \cdot L</Math> où <math>Fs</math> est la résistance du câble de sous-barbe.
 '''On connaît cette force <math>Fs</math> maximale d'utilisation du câble : {{formatnum:1654}}&nbsp;kg<sub>f</sub>'''
La force du couple qui tire vers le haut doit être égale à la force du couple qui tire vers le bas.<br />
La force qui s'exerce sur le beaupré est la somme des projections vectorielles des deux forces <math> \vec {Fh}\ et\ \vec {Fs}</math> sur le beaupré : 
 <math>Fh \cdot \sin \beta \cdot L = Fs \cdot \sin \alpha \cdot L</math>
 <math>Fh = Fs \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}</math> (pour <math>\sin \beta</math> ≠ 0)
Compression sur le beaupré :
 <math>Fh \cdot \cos{\beta} + Fs \cdot \cos{\alpha}</math>
 <math>Fs \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \cdot {\cos \beta} + Fs \cdot \cos{\alpha}</math> ⇔ <math>Fs \cdot ( \coth {\beta} \cdot \sin \alpha + \cos {\alpha})</math>
<math>\coth {\beta}</math> n'est autre que le rapport de la distance qui sépare le pied du mât au point d'amure par la hauteur du mât, qui sont les points d'attaches du hauban.

=== Exemple pratique === 
Calculer l'effort de compression et la résistance au flambage du beaupré avec un mât de 13,5 m, une distance du point d'amure au pied du mât de 6 m, un angle <math>\alpha</math> de 30°, une sous-babe ''inox'' de diamètre 12 : <small><math>\sin {\alpha} = 0,5\ et \cos {\alpha} = 0,866</math></small>
 '''Compression pratique = '''{{formatnum:1654}} * (6/13,5 * 0,5 + 0,866) = '''{{formatnum:1799}} kg<sub>f</sub>'''

==== Quelle doit être la section du beaupré en bois ? ====
La charge à adopter est de 100 kg par cm² pour un bois de bonne qualité tel que le Kotibé<ref>https://fr.wiktionary.org/wiki/kotibé</ref> droit de fil avec un coefficient de sécurité de 5.

==== Résistance au travail de compression ====
 '''Résistance au travail de compression :''' Pp = 100 *S = '''{{formatnum:1800}} kg'''
 '''Section minimale :''' {{formatnum:1800}} / 100 = '''18 cm²'''
Le beaupré est une pièce importante sur un petit voilier, il y a des risques de chocs et de poussées latérales. On préfère utiliser un bois plus adapté à ces risques. En multipliant la section par 10 on doit pouvoir supporter une collision {{formatnum:18000}} kg. <br />La section adoptée pour la goélette Cardabela a été de 10 x 12 cm pour {{formatnum:12000}} kg<sub>f</sub> (60 tonnes à la rupture).

==== Charge limite au flambage ====
 Comme pour l'épontille au chapitre précédent, on prend I = 2 I<sub>y</sub>
 '''I =''' 2 * 12 * 10³ / 12 = '''{{formatnum:2000}} cm⁴'''

k = 1 pour les espars en bois guidés aux extrémités.
 Pr = k * 110 I / L² (L= 2,52 m)
 Pp = Pr /7

 '''Pr = '''110 * {{formatnum:2000}} / 2,52² = '''{{formatnum:34643}} kg<sub>f</sub>'''
 '''Pp =''' Pr/7 = {{formatnum:34643}} / 7 = '''{{formatnum:4949}} kg<sub>f</sub>'''

==== Conclusion ====
Un beaupré de section 10 x 12 cm est très largement suffisant pour assurer sa fonction, et est capable de supporter certains inconvénients comme les collisions et les chocs latéraux.<ref>http://appgm.asso.free.fr/wiki/index.php/Abordages/Péripéties_d'un_abordage</ref>

=== Notes et références ===

<references/>
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== Liens ==
* {{wp|Construction navale}}
* {{wp|Goélette Cardabela}}

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Test du modèle cadre
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