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Explicitant <math>\dot{s}</math> dans
l'[[Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique|équation géodésique]]
<math>\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^l}
- \frac{d}{d\tau} \left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial \dot{x}^l}\right) = 0</math>,
on a
: <math>\frac{1}{2 \dot{s}} g_{ij,l} \dot{x}^i \dot{x}^j
-\frac{d}{d\tau} \left(
\frac{1}{\dot{s}} g_{li}\dot{x}^i
\right) = 0
</math>

Paramétrisons la trajectoire par sa longueur ''s'', c'est à dire posons <math>\tau = s</math>.
Avec ce choix, on a <math>\dot{s} = 1</math>
et l'équation géodésique devient
: <math>\frac{1}{2} g_{ij,l} \dot{x}^i \dot{x}^j
-\frac{d}{ds} \left(
g_{li}\dot{x}^i
\right) = 0
</math>

Comme le tenseur métrique dépend de <math>x^i</math> mais pas explicitement de <math>\dot{x}^i</math>,
on a <math>\frac{d g_{li}}{d s} = g_{li,j} \frac{d x^j}{ds}</math> et l'équation géodésique prend la forme
: <math>\frac{1}{2} g_{ij,l} \dot{x}^i \dot{x}^j
- g_{li,j}\dot{x}^i \dot{x}^j
- g_{li}\ddot{x}^i
= 0
</math>

Multipliant par <math>g^{kl}</math>, on obtient
: <math>g^{kl} \left(\frac{1}{2} g_{ij,l} \dot{x}^i \dot{x}^j
- g_{li,j}\dot{x}^i \dot{x}^j\right)
- \ddot{x}^k
= 0</math>
et donc
: <math> \ddot{x}^k = g^{kl} \left(\frac{1}{2} g_{ij,l}
- g_{li,j}\right) \dot{x}^i \dot{x}^j
</math>

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