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<noinclude>{{Calcul scientifique}}</noinclude>

=Problème de Cauchy =
On parle de '''problème de Cauchy''' si l'on a une équation différentielle et des conditions initiales (CI)

== Méthode d'Euler explicite ou schéma progressif ==
Le schéma d’Euler progressif est un schéma explicite, car il permet de calculer <math>u_{n+1}</math> en fonction de <math>u_{n}</math> explicitement : 
<math>u_{n+1} = u_n + h \cdot f(t_n , u_n)</math>
 
== Méthode d'Euler implicite ou schéma rétrograde ==
Le schéma d’Euler rétrograde est un schéma implicite, car <math>u_{n+1}</math> est défini implicitement en fonction de <math>u_{n}</math> : 
<math>u_{n+1} = u_n + h \cdot  f(t_{n+1} , u_{n+1})</math>

En général, il faut donc résoudre une  équation non-linéaire à chaque pas de temps. La [[w:méthode de Newton|méthode de Newton]] est souvent utilisée pour cela.

== Méthode de Cranck-Nicolson ==
Un autre schéma de résolution qui offre une bonne convergence : 
<math>u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot [f(t_{n} , u_{n}) + f(t_{n+1} , u_{n+1})]</math>

== Méthode de Heun ==
Une spécialisation du schéma de Cranck-Nicolson dans lequel on explicite <math>u_{n+1}</math> comme dans la méthode d'Euler explicite <math>u_{n+1} = u_n + h \cdot  f(t_n , u_n) </math> : 

<math>u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot  [f(t_{n} , u_{n}) + f(t_{n+1} , u_n + h \cdot  f(t_n , u_n)  )]</math>

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