Voir la source de Électricité/L'impédance : l'équivalent sinusoïdal de la résistance

<noinclude>{{Électricité}}</noinclude>
La loi d'Ohm s'applique au passage d'un courant dans un conducteur, mais elle doit être modifiée pour prendre en compte les courants sinusoïdaux. Si la tension et le courant sont sinusoïdaux, il se peut qu'ils soient décalés, qu'ils ne soient pas en phase. Cela arrive quand le circuit étudié contient des condensateurs ou des bobines. Dans ce cas, le rapport U/I n'est pas une constante, mais oscille de manière sinusoïdale, à une fréquence qui dépend du décalage. Cet équivalent de la résistance en courant alternatif est appelé l''''impédance''' et est noté Z. De même que la conductance est l'inverse de la résistance, l'inverse de l'impédance est une valeur souvent utilisée. Elle porte le nom d''''admittance''' et se note Y.

[[File:Complex Impedance var.svg|vignette|Impédance en nombre complexe.]]

Si on utilise des phaseurs pour représenter la tension et le courant, leur division donne une impédance sous la forme d'un nombre complexe dont le module est égal à <math>U_{max} \over I_{max}</math> et dont l'argument est égal à la différence de phase entre intensité et tension. Elle porte le nom d''''impédance complexe''' et donne toutes les informations sur la sinusoïde que forme la résistance : son amplitude, sa phase, sa fréquence, et tutti quanti. Sa partie réelle est égale à la résistance normale (U/I instantané), vue dans les chapitres précédents, alors que sa partie imaginaire est appelée la '''réactance'''.

: <math>\overline{Z} = \frac{\overline{U}}{\overline{I}}</math>

À partir de l'impédance complexe, on peut calculer une admittance complexe.

: <math>\overline{Y} = \frac{\overline{1}}{\overline{Z}} = \frac{\overline{I}}{\overline{U}}</math>

==Impédance des récepteurs usuels==

L’intérêt de l'impédance est qu'elle se généralise aux autres composants que la résistance. Elle peut être définie pour les condensateurs et les bobines sans trop de difficultés. Dans cette section, nous allons calculer l'impédance d'une résistance, d'un condensateur et d'une bobine. Pour cela, nous allons voir ce qui se passe quand on met une tension sinusoïdale aux bornes du composant. Nous allons ommetre la phase de la tension, en choisissant l'origine des temps convenablement. Rappelons l'équation de la tension en question :

: <math>U(t) = U \cdot \sin{(\omega \cdot t)}</math>

===Impédance d'une résistance===

L'équation de la résistance n'est autre que la loi d'Ohm <math>U = R \cdot I</math>, qui est toujours valable en régime alternatif. On a donc :

: <math>I(t) = \frac{U}{R} \cdot \sin{(\omega \cdot t)}</math>

Intensité et tension sont en phase, ce qui fait que l'impédance est égale à la résistance : la réactance est nulle.

[[File:Komplex Z R.svg|centre|vignette|upright=2.0|Impédance complexe d'une résistance.]]

===Impédance d'un condensateur===

Partons de l'équation fondamentale d'un condensateur :

: <math>I(t) = C \cdot \frac{dU}{dt}</math>

Injectons la formule de la tension <math>U(t) = U \cdot \sin{(\omega \cdot t)}</math> :

: <math>I(t) = C \cdot \frac{ d \left[ U \cdot \sin{(\omega \cdot t)} \right] }{dt}</math>

Vu que U est une constante, on a :

: <math>I(t) = C \cdot U \cdot \frac{ d \sin{(\omega \cdot t)}}{dt}</math>

La dérivée donne donc l'équation suivante.

: <math>I(t) = C \cdot \omega \cdot U \cdot \cos{(\omega \cdot t)}</math>

On utilise la formule <math>\cos x = \sin x + \frac{\pi}{2}</math>.

: <math>I(t) = C \cdot \omega \cdot U \cdot \sin{\left( \omega \cdot t + \frac{\pi}{2} \right)}</math>

[[File:Waveforms - capacitive reactance.svg|vignette|Tension et intensité aux bornes d'un condensateur.]]

Le terme <math>\sin{\left( \omega \cdot t + \frac{\pi}{2} \right)}</math> nous dit qu'aux bornes du condensateur, l'intensité avance par rapport à la tension d'une phase de <math>\pi \over 2</math>, soit un quart de période. Le tout est illustré par la figure de droite.

On peut alors calculer l'impédance en divisant U par I :

: <math>\frac{U(t)}{I(t)} = \frac{U \cdot \sin{(\omega \cdot t)}}{C \cdot \omega \cdot U \cdot \sin{(\omega \cdot t + \frac{\pi}{2}})} = \frac{1}{C \cdot \omega} \frac{\sin{(\omega \cdot t)}}{\sin{(\omega \cdot t + \frac{\pi}{2}})}</math>

On peut alors remplacer la tension et l'intensité par leurs phaseurs. Intuitivement, on voit que le module de l'impédance est égal à <math>1 \over C \omega</math> et que son argument est de <math>- \frac{\pi}{2}</math>. Dans le détail, on trouve :

: <math>Z = \frac{1}{C \omega} \cdot \frac{e^{j (\omega \cdot t)}}{e^{j \left( \omega \cdot t + \frac{\pi}{2} \right) }} = \frac{1}{C \omega} \cdot \frac{1}{e^{j \frac{\pi}{2}}}</math>

: <math>Z = \frac{1}{j C \omega}</math>

En clair, un condensateur a une réactance de <math>- \frac{1}{C \omega}</math> et pas de résistance.

[[File:Komplex Z C.svg|centre|vignette|upright=2.0|Impédance complexe d'un condensateur.]]

[[File:Z(f) C.svg|vignette|Impédance d'un condensateur en fonction de la fréquence.]]

Cette équation nous dit que le condensateur a une impédance qui varie avec la fréquence. Plus la fréquence est élevée, plus l'impédance sera faible, et inversement. On devine rapidement que le condensateur fonctionne comme un filtre dit '''passe-haut''' : il atténue fortement les signaux à basse fréquence (vu que l'impédance est alors élevée), alors que les signaux à haute fréquence sont transmis sans trop d'atténuation, du fait de la basse impédance.

===Impédance d'une bobine===

Partons de l'équation fondamentale d'une bobine :

: <math>U(t) = L \cdot \frac{dI}{dt}</math>

Injectons la formule d'un courant sinusoïdal <math>I(t) = I \cdot \sin{(\omega \cdot t)}</math> :

: <math>U(t) = L \cdot \frac{ d \left[ I \cdot \sin{(\omega \cdot t)} \right] }{dt}</math>

Vu que I est une constante, on a :

: <math>U(t) = L \cdot I \cdot \frac{ d \sin{(\omega \cdot t)}}{dt}</math>

La dérivée du sinus n'est autre que la fonction cosinus.

: <math>U(t) = L \cdot I \cdot \omega \cdot \cos{(\omega \cdot t)}</math>

On utilise la formule <math>\cos x = \sin x + \frac{\pi}{2}</math>.

: <math>U(t) = L \cdot I \cdot \omega \cdot \sin{(\omega \cdot t + \frac{\pi}{2}})</math>

[[File:Waveforms - inductive reactance.svg|vignette|Tension et intensité aux bornes d'une bobine.]]

Cette équation nous dit qu'aux bornes d'une bobine, la tension avance par rapport à l'intensité d'une phase de <math>\pi \over 2</math>, soit un quart de période. Dit autrement, l'intensité retarde par rapport à la tension d'une phase de <math>\pi \over 2</math>, soit un quart de période. Le tout est illustré par la figure de droite.

On peut alors calculer l'impédance en divisant U par I :

: <math>\frac{U(t)}{I(t)} = \frac{L \omega \cdot I \cdot \sin{(\omega \cdot t + \frac{\pi}{2}})}{I \cdot \sin{(\omega \cdot t)}} = L \omega \cdot \frac{\sin{(\omega \cdot t + \frac{\pi}{2}})}{\sin{(\omega \cdot t)}} </math>

On peut alors remplacer la tension et l'intensité par leurs phaseurs. Intuitivement, on voit que le module de l'impédance est égal à <math>L \omega</math>, et que son argument est de <math>\frac{\pi}{2}</math>. Dans le détail, on trouve :

: <math>Z = L \omega \cdot \frac{e^{j \left( \omega \cdot t + \frac{\pi}{2} \right)}}{e^{j (\omega \cdot t)}} = L \omega \cdot e^{j \frac{\pi}{2}}</math>

: <math>Z = j L \omega</math>

En clair, une bobine a une réactance de <math>L \omega</math> et pas de résistance.

[[File:Komplex Z L.svg|centre|vignette|upright=2.0|Impédance complexe d'une bobine.]]

[[File:Z(f) L.svg|vignette|Impédance d'une bobine en fonction de la fréquence.]]

Cette équation nous dit que la bobine a une impédance qui varie avec la fréquence. Plus la fréquence est élevée, plus l'impédance sera forte, et inversement. On devine rapidement que la bobine fonctionne comme un filtre dit '''passe-bas''' : elle atténue fortement les signaux à haute fréquence (vu que l'impédance est alors élevée), alors que les signaux à basse fréquence sont transmis sans trop d'atténuation, du fait de la basse impédance.

==Associations d'impédances==

[[Fichier:Impedances in series.svg|vignette|Impédances en série.]]
[[Fichier:Impedances in parallel.svg|vignette|Impédances en parallèle.]]

Il est possible de placer des impédances en parallèle ou en série, tout comme pour les résistances. C'était plus ou moins ce qu'on a fait quand on étudié les circuits RLC, RC, RL et LC. Et comme pour les résistances, on peut calculer une '''impédance équivalente''' pour plusieurs impédances en série ou en parallèle. Par exemple, on peut calculer l'impédance équivalente d'un circuit RLC ou d'un circuit RC. Le traitement est strictement équivalent à celui effectué pour les résistances. Les démonstrations sont notamment les mêmes et donnent les mêmes résultats, si ce n'est que les impédances remplacent les résistances. On ne les refera pas ici, et on se contentera de citer les deux résultats suivants :

* Pour des impédances en série, l'impédance équivalente est la somme des impédances.
* Pour des impédances en parallèle, l'admittance équivalente est la somme des admittances.

: <math>Z = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n</math>

: <math>Y = Y_1+Y_2 + \cdots + Y_n \equiv \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2} + \cdots + \frac{1}{Z_n}</math>

===Associations de résistances/bobines/condensateurs===

Pour les associations de résistances, condensateurs et bobines on retrouve les résultats vus dans le chapitre "Associations de composants de base".
À savoir :

* La résistance équivalente est la somme des résistances : <math>R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n</math>
* L'inductance équivalente est la somme des inductances : <math>L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n</math>
* L'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités : <math>\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_n} </math>

Les démonstrations sont triviales : il suffit d'injecter les impédances <math>R</math>, <math>j L \omega</math> et <math>1 \over j C \omega</math> dans l'équation <math>Z = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n</math>. Quelques simplifications algébriques triviales donnent alors les résultats précédents.

===Circuits RC, RL, LC et RLC===

On vient de voir que rien ne change pas rapport au cas continu pour les diviseurs de tension à base de résistances, condensateurs ou bobines. Par contre, il est intéressant d'étudier les associations d'impédances que sont les circuits RC, RL, LC et RLC. Dans cette section, nous allons utiliser les notations suivantes :

* <math>U</math> est la tension du générateur.
* <math>U_c</math> est la tension aux bornes du condensateur.
* <math>U_l</math> est la tension aux bornes de la bobine.
* <math>U_r</math> est la tension aux bornes de la résistance.
* <math>Z_r</math> est l'impédance de la résistance.
* <math>Z_l</math> est l'impédance de la bobine.
* <math>Z_c</math> est l'impédance du condensateur.

====Circuit RC série====

Prenons le cas d'un circuit RC série. On part de l'équation vue plus haut, avec les impédances de la résistance et du condensateur :

: <math>Z_{eq} = Z_r + Z_c</math>

: <math>Z_{eq} = R + \frac{1}{j C \omega}</math>

Pour obtenir la tension aux bornes du condensateur et de la résistance, on peut utiliser le théorème du diviseur de tension, en remplaçant les résistances par les impédances, ce qui donne :

: <math>U_c = U \cdot \frac{Z_c}{Z_{eq}} = U \cdot \frac{\frac{1}{j C \omega}}{R + \frac{1}{j C \omega}} = U \cdot \frac{1}{1 + j R C \omega}</math>

:<math>U_r = U \cdot \frac{Z_r}{Z_{eq}} = U \cdot \frac{R}{R + \frac{1}{j C \omega}} = U \cdot \frac{j R C \omega}{1 + j R C \omega}</math>

====Circuit RL série====

Prenons ensuite le cas d'un circuit RL série. On part de l'équation vue plus haut, avec les impédances de la résistance et du condensateur :

: <math>Z_{eq} = R + j L \omega</math>

Les tensions aux bornes de la bobine et de la résistance se calculent avec le théorème du diviseur de tension.

: <math>U_l = U \cdot \frac{Z_l}{Z_{eq}} = U \cdot \frac{j L \omega}{R + j L \omega}</math>

: <math>U_r = U \cdot \frac{Z_r}{Z_{eq}} = U \cdot \frac{R}{R + j L \omega}</math>

====Circuit RLC série====

Prenons enfin le cas d'un circuit RLC série, les autres circuits série étant assez similaires (il suffit de mettre à zéro la bonne impédance). On calcule l'impédance équivalente :

: <math>Z_{eq} = R + j L \omega + \frac{1}{j C \omega}</math>

: <math>Z_{eq} = R + j \left( L \omega - \frac{1}{C \omega} \right)</math>

: <math>Z_{eq} = R + j \left( \frac{L C \omega^2 - 1}{C \omega} \right)</math>

{|
|[[File:Komplex Z sum RLC.svg|vignette|upright=2.0|Impédance complexe d'un circuit RLC série.]]
|[[File:Komplex Z RLC.svg|vignette|upright=2.0|Impédance complexe d'un circuit RLC série - 2.]]
|}

L’impédance complexe du circuit RLC est indiquée dans le graphique ci-dessous.  On remarque facilement que l'impédance <math>Z_{eq} = R + j \left( \frac{L C \omega^2 - 1}{C \omega} \right)</math> est minimale quand le terme <math>\left( \frac{L C \omega^2 - 1}{C \omega} \right)</math> s'annule. Cela arrive pour une fréquence précise, qui se calcule comme suit.

Multiplions par <math>C \omega</math> :

: <math>L C \omega^2 - 1 = 0</math>

: <math>L C \omega^2 = 1</math>

: <math>\omega^2 = \frac{1}{L C}</math>

: <math>\omega = \sqrt{\frac{1}{L C}}</math>

Vu que <math>\omega = 2 \pi f</math>, on a :

: <math>f = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{L C}}</math>

====Circuit RLC parallèle====

Pour le circuit RLC parallèle, on doit procéder de la même manière que le cas série, sauf que l'on doit additionner les admittances :

: <math>Y_{eq} = \frac{1}{R} + j C \omega + \frac{1}{j L \omega}</math>

: <math>Y_{eq} = \frac{1}{R} + j \left( C \omega - \frac{1}{L \omega} \right)</math>

: <math>Y_{eq} = \frac{1}{R} + j \left( \frac{L C \omega^2 - 1}{L \omega} \right)</math>

L’impédance complexe du circuit RLC parallèle est indiquée dans le graphique ci-dessous. La transmittance du circuit RLC parallèle est l'inverse du circuit série. Elle ne filtre pas les basses et hautes fréquences, mais filtre les fréquences intermédiaires. On dit qu'il s'agit d'un '''filtre coupe-bande''', sous-entendu qui coupe les fréquences comprises dans une bande de fréquences. On remarque facilement que l'admittance du circuit est minimale quand le terme <math>\left( \frac{L C \omega^2 - 1}{L \omega} \right)</math> s'annule. On retrouve donc la fréquence d'impédance maximale :

: <math>f = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{L C}}</math>

[[File:Z(f) Parallel (RL)C.svg|centre|vignette|upright=2.0|Impédance complexe d'un circuit RLC parallèle en fonction de la fréquence.]]